INTRODUCCION A LA ESTADÍSTICA PROBABILISTICA

TÉCNICAS DE CONTEO

Para determinar el Espacio Muestral de un fenómeno probabilístico en estudio, es necesario desarrollar algunas técnicas de enumeraciones fundamentales las cuales son:

• DIAGRAMA DE ÁRBOL
• ANÁLISIS COMBINATORIO

DIAGRAMA DE ÁRBOL

Son ordenaciones empleadas para enumerar todas las posibilidades lógicas de una secuencia de eventos, donde cada evento puede ocurrir en un número finito. Proporcionan un método sistemático de enumeración objetiva de los resultados.

El espacio muestral en este caso es S={AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC}

ANÁLISIS COMBINATORIO

PRESABERES:

·         Factorial de  n : La factorial de n, denotado por  n!, se define como

                                                 n! = n(n-1)(n-2)(n-3)……………1                                                           (1)

Conviene definir  0!=1

Ejercicios:

Según la definición de factorial, calcula

a)     5!                                       b)  10!                                   c)  3!                                 d)  8! 

·         Principio fundamental de la multiplicación (PFM) : Si un suceso puede ocurrir de maneras, y si cuando éste ha  ocurrido otro suceso puede ocurrir de maneras, entonces el número de maneras en que ambos pueden ocurrir  en el orden especificado es   

Ejemplos 1.0

1.1  Si hay 3 candidatos para gobernador y 5 para alcalde, ¿los dos cargos pueden ocuparse de cuantas formas?

1.2  ¿De cuantas maneras se pueden poner en  fila 5 fichas de colores distintos?

PERMUTACIONES

Una permutación de n objetos de r en r es una elección ordenada de r objetos de entre n. El número de permutaciones de n objetos tomados de r en r  se denota por  nPr, P(n,r), o Pn,r  y viene dado por.

                              

nPr = n(n-1)(n-2)……………….(n-r+1) =                                                                               (2)

En particular, si el número de permutaciones de n objetos tomados de n en n, transforma  la anterior expresión en: …………………. ?                                                                                         (3)

Algunos llaman la primera expresión(1) como Variación y la segunda(2) como Permutación, pero en términos generales la (2) es un caso particular de la (1).     ¿Cuál es la diferencia?

Permutaciones cuando se repiten objetos: El número de permutaciones de n objetos de los que  son iguales,  son iguales ……………..es:

                                        nPn =     donde                    (4)

Ejemplos:

1.     Calcula el número de permutaciones de la palabra  “STATISTICS”

SOLUCION

Aplicando permutación cuando se repiten objetos. Ecuación (4)

Asignemos para:         S = n₁ =3   pues aparece 3 veces en la palabra

                                    T = n₂ =3      ”        ”         3     ”                 ”

                                     I = n₃  =2      ”        ”          2    ”                 ”    

                                    A = n₄ =1       ”          ”       1        ”                   ”

                                    C = n₅ =1       ”          ”       1        ”                   ”

                                           n= 10

Luego se tiene que:  nPn=  = 50,400

1.     Cinco fichas rojas, 2 blancas y 3 azules se colocan en fila. Las de un color no son distinguibles entre sí. ¿Cuántas colocaciones distintas son posibles?

SOLUCION                                                             

Procedemos de la misma manera que el ejercicio anterior:

                                                            n₁=5; n₂=2; n₃=3 y n=10        

              

Luego se tiene que: _(5!2!3!)P₁₀ = 2,520

1.     Calcula el número de permutaciones que se pueden dar de las letras a,b y c tomadas de dos en dos.

SOLUCION

Este es un tipo de problema de permutación, donde se permutan r objetos de n objetos. Ecuación (2)

    _nP_r =  =   = 6              

COMBINACIONES

  

Una combinación de n objetos de r en r es una selección de r de ellos, sin importar el orden de los r escogidos. El número de combinaciones de n objetos, tomados de r en r se denota por:

                                                      =                                                                                        (7)

Ejemplos

1.     Calcula el número de combinaciones de las letras a,b y c tomadas de dos en dos.

SOLUCION

Tomando  n=3 ; r=2 y aplicando (7) tenemos      = =  = 3                               

Otra forma: Como son pocos objetos podemos fácilmente hacer un diagrama de árbol o sacar directamente el espacio muestral, veamos lo segundo:  S={(a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b)}  nos damos cuentas que combinaciones solo hay tres, pues (a,b)=(b,a); (a,c)=(c,a) y (b,c)=(c,b). En  el caso que nos hubieran hablado de permutación entonces existirían 6

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.     ¿De cuántas maneras se pueden sentar 10 personas en un banco si hay 4 sitios disponibles?

      R/ 5040

2.     Hay que colocar a 5 hombres y  4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los lugares pares. ¿de cuántas maneras puede hacerse?

      R/ 2880

3.     ¿Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con las cifras 0,1,2,3,………,9: a) permitiendo repeticiones, b) sin repeticiones y  c) si el último digito ha de ser cero y no se permiten repeticiones.

      R/ a) 9000; b) 4536; c) 504

4.     Cuatro libros diferentes de matemáticas, 6 de física y 2 de química han de ser colocados en una estantería. ¿Cuántas colocaciones distintas admiten si: a) los libros de cada materia han de estar juntos y b) todos los de matemáticas tienen que estar juntos?

      R/ a) 207360; b) 8709120

5.     ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos

1,2,3,……….9 mayores que 700. Se admite repetición?

      R/ 243 Números  

                                                           



 

                                                                                 

                                                                                

Las NTIC